Finite Mathematik Beispiele

$A^{- 1} = [\begin{array}{c} x & y \\ z & w \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x w - z y$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{x w - z y} [\begin{array}{c} w & - y \\ - z & x \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{1}{x w - z y}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{x w - z y} w & \frac{1}{x w - z y} (- y) \\ \frac{1}{x w - z y} (- z) & \frac{1}{x w - z y} x \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{x w - z y}$ und $w$ .

$[\begin{array}{c} \frac{w}{x w - z y} & \frac{1}{x w - z y} (- y) \\ \frac{1}{x w - z y} (- z) & \frac{1}{x w - z y} x \end{array}]$

Schritt 6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$[\begin{array}{c} \frac{w}{x w - z y} & - \frac{1}{x w - z y} y \\ \frac{1}{x w - z y} (- z) & \frac{1}{x w - z y} x \end{array}]$

Schritt 6.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x w - z y}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{w}{x w - z y} & - \frac{y}{x w - z y} \\ \frac{1}{x w - z y} (- z) & \frac{1}{x w - z y} x \end{array}]$

Schritt 6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$[\begin{array}{c} \frac{w}{x w - z y} & - \frac{y}{x w - z y} \\ - \frac{1}{x w - z y} z & \frac{1}{x w - z y} x \end{array}]$

Schritt 6.5

Kombiniere $z$ und $\frac{1}{x w - z y}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{w}{x w - z y} & - \frac{y}{x w - z y} \\ - \frac{z}{x w - z y} & \frac{1}{x w - z y} x \end{array}]$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{1}{x w - z y}$ und $x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{w}{x w - z y} & - \frac{y}{x w - z y} \\ - \frac{z}{x w - z y} & \frac{x}{x w - z y} \end{array}]$